Ошибки в упражнениях с параметрами
При решении уравнений с параметрами не учитываются допустимые значения параметров, входящих в уравнения.
K Упражнение. Решить уравнение m · x = n.
L Неправильное решение.
Ответ: x = m/n .
Комментарий. Осталось не ясным, при каких значениях m и n уравнение имеет решение, т.е. решение уравнения, фактически, не доведено до конца.
J Правильное решение.
x = m/n .
1) Если m ≠ 0, то деление на m всегда возможно и уравнение имеет единственное решение.
2) Если m = 0 и n ≠ 0, то уравнение решений не имеет.
3) Если m = 0 и n = 0, то исходное уравнение имеет вид 0 · х = 0, которому, очевидно, удовлетворяет любое действительное значение х.
K Упражнение. Решить уравнение cos x = a.
L Неправильное решение
x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.
Комментарий. В решении не учтена область значений параметра.
J Правильное решение.
1) Если |a| ≤ 1, то x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.
2) Если |a| > 1, то уравнение решений не имеет.
При решении квадратных уравнений с параметрами рассматриваются не все возможные случаи.
K Упражнение. При каком значении параметра a уравнение ax2 – (3a + 2) · x + a = 0 имеет единственное решение.
L Неправильное решение.
D = (3a + 2)2 – 4a2 = 0,
5a2 + 12a + 4 = 0,
a1 = –2, a2 = –0,4
и так далее.
J Правильное решение.
Для уравнения ax2 – (3a + 2) · x + a = 0 единственное решение будет не только в случае D = 0, как решают многие, но и в том случае, когда уравнение вырождается в линейное при а = 0.
Системы уравнений с параметрами
При решении систем уравнений с параметрами почти всегда рассматривается неполный перечень возможных ситуаций.
K Упражнение. Решить систему уравнений
\[\begin{cases} m\cdot x+y=n, \\ x+m\cdot y=m. \end{cases}\]
L Неправильное решение.
После преобразований получаем, что
\[ \begin{cases}(m^2-1)\cdot x=m\cdot n-m, \\(m^2-1)\cdot y=m^2-n, \end{cases}\]
то есть
\[ \large \begin{cases} x=\frac{m\cdot (n-1)}{m^2-1}, \\ y=\frac{m^2-n}{m^2-1}. \end{cases} \]
Комментарий. Решение не доведено до конца.
J Правильное решение.
1) Если m ≠ ±1, то деление на m2 – 1 всегда возможно и система имеет единственное решение.
2) Если m = ±1, а m · (n – 1) ≠ 0 и m2 – n ≠ 0, система решений не имеет.
3) Если m = ±1, m · (n – 1) = 0 и m2 – n = 0 (последнее равенство выполняется при n = 1), то система имеет бесконечно много решений.
Неравенства с параметрами
При решении неравенств с параметрами довольно часто возникают проблемы с учетом допустимых значений параметров.
K Упражнение. Решить неравенство a · (x – 1) – x – 2 >0.
L Неправильное решение.
a · x – a – x – 2 > 0;
(a – 1) · x > a + 2;
| x > | a + 2 | . |
| a – 1 |
Комментарий. Решение следовало продолжить.
J Правильное решение.
1) Если а – 1 > 0, то есть при а > 1,
| x > | a + 2 | . |
| a – 1 |
2) Если а – 1 < 0, то есть при а < 1,
| x > | a + 2 | . |
| a – 1 |
3) Если а – 1 = 0, то есть при а = 1, решений нет, так как 0 · x > 3 – неверно для любых значений х.
Логарифмические и показательные неравенства с параметрами
При решении логарифмических и показательных неравенств с параметрами необходимо учитывать, что, в зависимости от величины основания (меньше 1 или больше 1), решение одного и того же неравенства требует рассмотрения совокупности случаев.
K Упражнение. Решить неравенство ах < а3.
L Неправильное решение.
х < 3.
J Правильное решение.
1) Если а > 1, то х < 3.
2) Если 0 < a < 1, то x > 3.
K Упражнение. Решить неравенство loga x ≥ loga 5.
L Неправильное решение.
x ≥ 5.
J Правильное решение.
1) Если а > 1, то х ≥ 5.
2) Если 0 < a < 1, то 0 < x ≤ 5.
Смотрите так же:
Ошибки в тождественных преобразованиях
Ошибки в упражнениях о функциях