Ошибки в упражнениях о функциях
Многие учащиеся затрудняются дать определение такого важнейшего понятия математики, как область определения функции, и не справляются с выполнением упражнений, в которых требуется ее установить.
K Упражнение. Найти область определения функции:
\[y=\frac{1}{\sqrt{-x}}+\sqrt{4+x}.\]
L Неправильное решение.
Рассматривается совокупность неравенств:
\[\left[ \begin{matrix} -x > 0, \\ 4 + x \geq 0; \end{matrix}\right.\]
которая, очевидно, приводит к совокупности
\[\left[ \begin{matrix} x < 0, \\ x \geq – 4. \end{matrix}\right.\]
Ответ: \(\left[ \begin{matrix} x < 0, \\ x \geq – 4. \end{matrix}\right.\)
Комментарий. Следует заметить, что при таком решении областью определения функции должны являться все действительные числа.
J Правильное решение.
На самом деле областью определения заданной функции является решение системы указанных неравенств, а именно, х ∈ [–4; 0).
При записи промежутков монотонности в ответ не включают концы интервалов.
K Упражнение. Указать промежутки монотонности функции y = x2 – 4.
L Неправильное решение.
Функция убывает при x ∈ (–∞; 0) и возрастает при x ∈ (0; +∞).
J Правильное решение.
Функция убывает при x ∈ (–∞; 0] и возрастает при x ∈ [0; +∞).
Наибольшее или наименьшее целое значение из области определения функции учащиеся зачастую путают с понятием наибольшего или наименьшего целого значения функции.
K Упражнение. Найти наименьшее целое значение из области определения функции
\[f(x)=\sqrt{x-7}.\]
L Неправильное решение.
Так как правая часть функции принимает только неотрицательные значения, то наименьшее целое число – это 0.
Ответ: 0.
J Правильное решение.
Областью определения данной функции являются все значения аргумента, удовлетворяющие неравенству x – 7 ≥ 0, а значит, искомым наименьшим целым числом является число 7.
Ответ: 7.
Такое важное свойство, как периодичность тригонометрической функции, учащиеся обычно знают и могут определить, чему равен период заданной функции. Однако, если заданная функция представляет собой некую комбинацию тригонометрических функций, то с нахождением ее периода они, как правило, не справляются.
K Упражнение 1. Определить период функции y = cos 5x – sin 2x.
L Неправильное решение.
Период для y = cos 5x – sin 2x определим следующим образом:
для y = cos 5x период равен 5 · 2π = 10π,
для y = sin 2x период равен 2 · 2π = 4π,
значит период данной функции равен 10π – 4π = 6π.
Ответ: 6π.
Комментарий. Такое решение следует назвать не только неправильным, но абсолютно неправильным решением.
J Правильное решение.
Период для функции y = cos 5x равен 2π/5, для функции y = sin 2x период равен 2π/2 = π.
Значит, период исходной функции y = cos 5x – sin 2x равен НОК (2π/5; π). Перейдя, для удобства вычислений, от радианной меры к градусной, получим
НОК (2π/5; π) = НОК (72°; 180°) = 360° = 2π.
Ответ: 2π.
K Упражнение 2. Определить период функции y = cos2 x.
L Неправильное решение.
Период для y = cos2 x определим следующим образом:
для y = cos x период равен 2π, значит, для y = cos2 x период равен 4π.
Ответ: 4π.
Комментарий. В данном случае сначала необходимо понизить степень, а затем определить период получившейся функции.
J Правильное решение.
Так как
| cos2 x = | 1 + cos 2x | , |
| 2 |
то период функции y = cos2 x вычисляется следующим образом
| 2π | = π. |
| 2 |
Ответ: π.
Смотрите так же:
Ошибки в тождественных преобразованиях
Ошибки в упражнениях с параметрами