Ошибки в упражнениях из начал анализа

Далеко не всегда при помощи элементарных преобразований можно построить график заданной функции. Зачастую это проще сделать с помощью производной. Но иногда и такой способ исследования свойств функций и построения графиков вызывает у учащихся трудности. Рассмотрим некоторые из допускаемых ошибок.

За критическую точку принимают точку, не входящую в область определения заданной функции.

K Упражнение. Определить критические точки функции 

\[y=\frac{x^2}{x+2}.\]

L Неправильное решение. 

Если

\[y=\frac{x^2}{x+2},\]

то

\[y'=\frac{2x\cdot (x+2)-x^2\cdot 1}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\]

и –4, –2, 0 — критические точки.

Ответ: –4, –2  и  0.

Комментарий. При х = –2 заданная функция не существует.

J Правильный ответ.

Ответ: –4  и  0.

Нередко точкой экстремума считают точку, в которой производная равна нулю.

K Упражнение. Найти точки экстремума функции у = х³.

L Неправильное решение. 

Для функции у = х³ производная равна  у′ = 3х², значение которой, очевидно равно 0 при х = 0.

Значит, х = 0 – точка экстремума.

Ответ: х = 0.

Комментарий. Если нанести точку х = 0 на координатную прямую и определить знаки производной по одну и по другую стороны от этой точки, то при переходе через нее обнаружится, что производная не меняет знак, а значит, эта точка не является точкой экстремума.

J Правильный ответ.

Функция не имеет точек экстремума.

Часто учащиеся не видят разницы между экстремумом и точкой экстремума функции.

K Упражнение. Найти экстремум функции  у = х² + 2х + 3.

L Неправильное решение. 

Для функции  у = х² + 2х + 3  найдем экстремум:

у′ = 2х + 2,

у′ = 0  при  2х + 2 = 0,  х = –1. Проверкой убеждаемся, что знак производной меняется с – на + при переходе через точку х = –1 слева направо.

Ответ: х = –1.

Комментарий. При решении была найдена точка экстремума, а именно, точка минимума. Чтобы найти экстремум, нужно еще найти значение функции в точке экстремума, то есть вычислить соответствующее значение у.

J Правильное решение.

Решение, приведенное выше, следует продолжить:

х_min = –1,

у_min = у(х_min) = у(–1) = (–1)² + 2 · (–1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2.

Ответ: 2.  

Далеко не все учащиеся правильно понимают и умеют применять геометрический смысл производной.

Если в условии задачи предлагается найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к заданной функции в заданной точке, то учащиеся порой пишут уравнение касательной, что приводит к лишним вычислениям, в то время как достаточно было найти производную и вычислить ее значение в заданной точке.

При написании уравнения касательной учащиеся забывают, что искомым уравнением является уравнение вида  y = kx + b, где k = f ′ (x₀).

K Упражнение. Написать уравнение касательной к графику функции у = х³ в точке х₀ = 1.

L Неправильное решение. 

y′ = 3x²;

y₀ = y(х₀) = y(1) = 1³ = 1.

Уравнение касательной имеет вид: у = 3x² · (х – 1) + 1.

Ответ: у = 3x² · (х – 1) + 1.

Комментарий. Здесь в качестве k появилась производная функции у(х) вместо ее значения в точке х₀.

J Правильное решение.

y₀ = y(х₀) = y(1) = 1³ = 1;

y′ = 3x²;

y′(х₀) = y′(1) = 3 · 1² = 3.

Уравнение касательной имеет вид:  у = 3 · (х – 1) + 1,   у = 3х – 2.

Ответ: у = 3х – 2.

При нестандартных условиях, например, при написании уравнения касательной, проходящей через точку, не принадлежащую графику заданной функции, отсутствие должной проверки приводит к ошибочным результатам.

K Упражнение. Написать уравнение касательной к графику функции у = х², проходящей через точку М(2; 3).

L Неправильное решение.

Из условия следует, что х₀ = х_М = 2. Тогда

y′ = 2x;

y′(х₀) = y′(2) = 2 · 2 = 4.

Так как  у₀ = у_М = 3, то уравнение касательной имеет вид:

у = 4 · (х – 2) + 3,  у = 4х – 5.

Ответ: у = 4х – 5.

Комментарий. Сначала нужно было проверить, принадлежит ли точка М параболе  у = х². Так как 

3 = у_М ≠ у(х_М) = у(2) = 2² = 4,

то точка М не принадлежит графику функции, и х₀ – абсцисса точи касания – неизвестен.

J Правильное решение.

y₀ = y(х₀) = х₀²;

y′ = 2x;

y′(х₀) = 2х₀.

Уравнение касательной имеет вид: у = 2х₀ · (х – х₀) + х₀².

Учитывая, что касательная проходит через точку М(2; 3), имеем:

3 = 2х₀ · (2 – х₀) + х₀²,

х₀² – 4х₀ + 3 = 0,

х₀ = 1  или  х₀ =3.

Значит, существуют две касательные к параболе у = х², проходящие через точку М:

1)  у = 2 · 1 · (х – 1) + 1²,   у = 2х –1;

2)  у = 2 · 3 · (х – 3) + 3²,   у = 6х – 9.      

Ответ:  у = 2х –1  и  у = 6х – 9.

При интегрировании сложной функции вида y = f (kx + b) забывают, что ее первообразная равна  ¹/_k · F (kx + b).

K Упражнение. Вычислить неопределенный интеграл

\[\int \frac{1}{\cos^2 3x}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int \frac{1}{\cos^2 3x}dx=\mathrm{tg}\; 3x+C.\]

J Правильное решение.

\[\int \frac{1}{\cos^2 3x}dx=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\; 3x+C.\]

Достаточно часто допускаются ошибки при применении формулы Ньютона–Лейбница.

K Упражнение 1. Вычислить значение определенного интеграла

\[\int_{1}^{2}{3x^2}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int_{1}^{2}{3x^2}dx=x^3\left| \begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\right.=(2-1)^3=1.\]

J Правильное решение.

\[\int_{1}^{2}{3x^2}dx=x^3\left| \begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\right.=2^3-1^3=7.\]

K Упражнение 2. Вычислить значение определенного интеграла

\[\int_{\pi /2}^{\pi}{\sin 2x}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int_{\pi /2}^{\pi}{\sin 2x}dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\left| \begin{matrix} \pi\\ \pi /2 \end{matrix}\right.=\frac{1}{2}(\cos 2\pi-\cos \pi)=\frac{1}{2}(1+1)=1.\]

J Правильное решение.

\[\int_{\pi /2}^{\pi}{\sin 2x}dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\left| \begin{matrix} \pi\\ \pi /2 \end{matrix}\right.=\frac{1}{2}\cos 2x\left| \begin{matrix} \pi/2\\ \pi  \end{matrix}\right.=\frac{1}{2}(\cos \pi-\cos 2\pi)=\frac{1}{2}(-1-1)=-1.\]

Интеграл от произведения или частного двух функций ошибочно считается равным произведению или частному интегралов от этих функций.

K Упражнение 1. Вычислить неопределенный интеграл

\[\int \sin 2x\sin 4xdx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int \sin 2x\sin 4xdx=\int \sin 2xdx\cdot \int \sin 4xdx=\frac{1}{2}\cos 2x\cdot \frac{1}{4}\cos 4x+C=\frac{1}{8}\cos 2x\cos 4x+C.\]

J Правильное решение.

\[\int \sin 2x\sin 4xdx=\int \frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 6x)dx=\frac{1}{2}\int \cos 2xdx-\frac{1}{2}\int \cos 6xdx=\]

\[=\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{12}\sin 6x+C.\]

K Упражнение 2. Вычислить неопределенный интеграл

\[\int \frac{x^2+x}{x}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int \frac{x^2+x}{x}dx=\frac{\int (x^2+x)dx}{\int xdx}=\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_{1}}{\frac{x^2}{2}+C_{2}}.\]

J Правильное решение.

\[\int \frac{x^2+x}{x}dx=\int \left(\frac{x^2}{x}+\frac{x}{x} \right)dx=\int \left(x+1 \right)dx=\frac{x^2}{2}+x+C.\]

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в геометрических задачах