Ошибки в тождественных преобразованиях
При упрощении выражений, вычислении их значений, при решении уравнений и неравенств необходимо производить тождественные преобразования заданных выражений. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ошибки при тождественных преобразованиях.
Нарушение порядка действий
K Упражнение. Упростить выражение
\[1-\frac{\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]
L Неправильное решение.
Сначала
\[1-\frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{x-1-\sqrt{x}}{x-1}\]
затем
\[\frac{x-1-\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]
и так далее.
J Правильное решение.
Сначала следует выполнить
\[\frac{\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]
затем произвести вычитание.
Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:
первая ступень – сложение и вычитание,
вторая ступень – умножение и деление.
При нахождении значения выражения или его упрощении действия выполняются в следующем порядке:
-
В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, тогда все операции выполняются по порядку слева на право.
-
Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени. Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.
-
Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.
Нарушение правил действий над степенями и многочленами
Нередко учащиеся неверно применяют формулы сокращенного умножения, нарушают правила действий над степенями с рациональным показателем.
|
L Неправильное решение |
J Правильное решение |
|
\[\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{-3}=\frac{1}{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}\] |
\[\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{-3}=\frac{1}{\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{3}}\] |
| \[\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2-b^2\] | \[\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2\] |
| \[\left(a-b \right)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\] | \[\left(a-b \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a-b}\] |
| \[a^{-1}+b^{-1}=\frac{1}{a+b}\] | \[a^{-1}+b^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\] |
| \[16^x-4^x=(16-4)^x\] | \[16^x-4^x=4^x(4^x-1)\] |
| \[9^{2-x}=9^2-9^x\] | \[9^{2-x}=9^2:9^x\] |
Разложение многочленов на множители выполняется нерационально или не доводится до конца.
K Упражнение. Разложить многочлен x3 – x2 – x + 1 на множители.
L Неправильное решение.
x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x + 1) = дальше продолжить не удалось.
J Правильное решение.
x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x – 1) = (x2 – 1) · (x – 1) =
= (x + 1) · (x – 1) · (x – 1) = (x + 1) · (x – 1)2.
Сокращение дробей
Очень распространенной ошибкой является попытка сократить стоящие в числителе и знаменателе одинаковые выражения, одно из которых (или в числителе, или в знаменателе), а порой и оба, являются не сомножителями, а слагаемыми.
|
L Неправильное решение |
J Правильное решение |
|
\[\frac{2m+2(m+n)^3}{(m+n)^2(2m+n)}=\frac{2m+2(m+n)}{2m+n}\] |
Сократить нельзя |
|
\[\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha}=1+\cos \alpha\] |
Сократить нельзя |
|
\[\frac{a^4-b^4}{a-b}=a^3-b^3\] |
\[\frac{a^4-b^4}{a-b}=\frac{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}{(a-b)}=\] \[=(a^2+b^2)(a+b)\] |
|
\[\frac{\sin \alpha +\sin 2\alpha -\sin 3\alpha }{\cos \alpha +\cos 2\alpha -\cos 3\alpha }=\] \[=\tan \alpha +\tan 2\alpha-\tan 3\alpha\] |
Сократить нельзя |
|
\[\frac{\sqrt{a^3b}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\] Сокращение не произведено |
\[\frac{\sqrt{a^3b}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\] \[=\frac{\sqrt{a^3b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left(a-\sqrt{ab}+b \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\] \[=\sqrt{a^3b}\left(a-\sqrt{ab}+b \right)\] |
Неправильное выполнение действий с арифметическими корнями
|
L Неправильное решение |
J Правильное решение |
|
\[\sqrt{\left(4-\sqrt{32} \right)^2}=4-\sqrt{32}\] |
\[\sqrt{\left(4-\sqrt{32} \right)^2}=\sqrt{32}-4\] |
|
\[\sqrt{\frac{a+1}{(1-a)^2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{1-a}\] при а > 1 |
\[\sqrt{\frac{a+1}{(1-a)^2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{a-1}\] при а > 1 |
|
\[\sqrt{a^2+b^2}=a+b\] |
Упростить невозможно |
|
\[b\sqrt{2}=\sqrt{2b^2}\] при b < 0 |
\[b\sqrt{2}=-1\sqrt{2b^2}\] при b < 0 |
Необходимо помнить, что для любого действительного числа а и натурального k верно:
\[\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a,\]
\[\sqrt[2k]{a^{2k}}=\left| a\right|.\]
Ошибки тригонометрического характера
При нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.
K Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.
L Неправильное решение.
1 + ctg2 α = sin–2 α,
1 + ctg2 α = 25/16,
ctg2 α = 9/16,
ctg α = 3/4.
Комментарий. Здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.
J Правильное решение.
Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:
1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;
2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.
Смотрите так же:
Ошибки в упражнениях с параметрами
Ошибки в упражнениях о функциях