Ошибки в системах уравнений
Системы уравнений с двумя переменными – один из самых распространенных видов упражнений в математических тестах, письменных работах и экзаменах различных уровней. Если система решена правильно, то ответ не зависит от выбранного метода решения. Но ошибки, допускаемые учащимися при решении систем, часто связаны не только с решением, а и с неправильной формой записи.
K Упражнение. Решить систему уравнений:
\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \log _{\frac{1}{2}}\frac{x}{y}=1. \end{cases}\]
L Неправильная запись.
\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{2}; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}2x^2=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} 2x^2=2^5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x^2=16, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=\pm 8. \end{cases}\]
Ответ: (±4; ±8).
Комментарий. Использованная при записи ответа форма записи, как правило, подразумевает четыре пары чисел:
(4; 8), (–4; –8), (4; –8) и (–4; 8),
тогда как в действительности эта система имеет только два решения:
(4; 8) и (–4; –8).
Справедливости ради, следует сказать, что действительно, иногда под записью (±4; ±8) понимают только пары
(4; 8) и (–4; –8),
а для пар
(4; –8) и (–4; 8)
используют запись (±4; ∓8). С этих позиций ответ (±4; ±8) является верным. Не будучи уверенным в правильной трактовке ваших записей, следует избегать подобных двойственностей.
J Правильный ответ.
Ответ: (4; 8), (–4; –8).
K Упражнение. Решить систему уравнений
\[\begin{cases} x^2+2xy+y^2=4, \\ x^2-2xy+y^2=9. \end{cases}\]
L Неправильное решение.
\[ \begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases} \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=3; \end{cases} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1; \end{cases} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5. \end{cases}\]
Ответ: (2,5; –0,5).
Комментарий. При решении системы методом извлечения корня из обеих частей уравнений следует рассмотреть совокупность систем уравнений, решение которой, в данном случае, даст четыре решения.
J Правильное решение.
\[\begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases}\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=3, \end{cases}\\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=-3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=-3; \end{cases} \end{matrix}\right. \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1, \end{cases}\\ \begin{cases} 2x=1, \\ 2y=-5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-1, \\ 2y=5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-5, \\ 2y=1; \end{cases} \end{matrix}\right.\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5, \end{cases}\\ \begin{cases} x=0,5, \\ y=-2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-0,5, \\ y=2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-2,5, \\ y=0,5. \end{cases} \end{matrix}\right.\]
Ответ: (2,5; –0,5), (0,5; –2,5), (–0,5; 2,5) и (–2,5; 0,5).
Смотрите так же:
Ошибки в тождественных преобразованиях
Ошибки в упражнениях с параметрами
Ошибки в упражнениях о функциях