Ошибки в неравенствах
Неравенства по праву считаются одним из самых трудных разделов школьной математики, и при их решении допускается наибольшее количество ошибок. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.
Некоторые общие ошибки
K Упражнение | L Неправильно | J Правильно |
Указать наименьшее целое решение неравенства: x > 4 | х ∈ (4; +∞), наименьшее целое число 4. Ответ:x = 4 | х ∈ (4; +∞), наименьшее целое число 5. Ответ: x = 5. |
Решить неравенство: –х < 1 | x < –1 Ответ: (–∞; –1) | x > –1 Ответ: (–1; +∞) |
Сравнить a и b, если 1/a < 1/b | Ответ: если a и bположительные, то a > b; если a и b отрицательные, то a < b | Ответ: если a · b > 0, то a > b; |
Оценить х из 0,25 ≤ 1/x ≤ 2 | Ответ:4 ≥ х ≥ 0,5 | Ответ: 0,5 ≤ х ≤ 4 |
\[a< x< b\] | \[\left[\begin{matrix} x> a\\ x< b \end{matrix} \right.\] | \[\begin{cases} x> a\\ x< b \end{cases} \] |
Ошибки в квадратных неравенствах
Квадратные(квадратичные)неравенства – неравенства вида
aх2 + bx + c > 0, (< 0, ≥ 0, ≤ 0)
часто решаются разложением левой части на линейные множители, то есть
aх2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) > 0,
где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена aх2 + bx +c. Это возможно сделать, когда корни квадратного трехчлена являются действительными числами. Однако в некоторых случаях при решении неравенств этим способом можно легко прийти к неверному заключению.
K Решить неравенство | L Неправильное решение | J Правильное решение |
– х2 + 5x– 6 < 0 | – (x – 2) (x – 3) < 0, х ∈ (2; 3). Ответ: (2; 3) | х2 – 5x + 6 < 0, (x – 2) (x – 3) > 0, х ∈ (–∞; 2)∪(3; +∞). Ответ: (–∞; 2)∪(3; +∞) |
х2 + 6x + 9 ≥ 0 | (х+ 3)2 ≥ 0, х + 3 ≥ 0, х ≥ –3. Ответ: [–3; +∞) | Неравенство (х + 3)2 ≥ 0 выполняется для всех значений х, значит х – любое число. Ответ: (–∞; +∞) |
х2 – 4x + 4 > 0 | Неравенство (х– 2)2 > 0 выполняется для всех значений х, значит х – любое число. Ответ: (–∞; +∞) | При х = 2 (х– 2)2 = 0, значит, х ≠ 2. Ответ: (–∞; 2)∪(2; +∞) |
х2 + 10x + 25 ≤ 0 | (х + 5)2 ≤ 0 – решений нет. Ответ: Ø | Неравенство (х + 5)2 ≤ 0 выполняется при единственном значении х = –5. Ответ: –5 |
х2 + x + 2 > 0 | Так как D = 12 – 2·2 = –3 < 0, то решений нет. Ответ: Ø | Так как старший коэффициент положительный и D < 0, то при любом значении х левая часть неравенства положительна. Ответ: (–∞; +∞) |
х2 – 9 ≤ 0 | х2 ≤ 9, х ≤ 3. Ответ: (–∞; 3] | х2 ≤ 9, |х| ≤ 3, \[\begin{cases} x\geq -3,\\ x\leq +3. \end{cases}\] Ответ: [–3; 3] |
х2 – 9 ≥ 0 | х2 ≥ 9, х ≥ 3. Ответ: [3; +∞). Комментарий. Необходимо помнить, что, вообще говоря, нельзя извлекать корень из обеих частей неравенства. | х2 ≥ 9, |х| ≥ 3, \[\left[\begin{matrix} x\geq +3,\\ x\leq -3. \end{matrix} \right.\] Ответ: (–∞; –3]∪[3; +∞) |
Ошибки в дробно-рациональных неравенствах
Нередко ошибки появляются при сведении неравенств к системе неравенств, совокупности неравенств или совокупности систем неравенств.
K Упражнение. Решить неравенство \(\large \frac{x+6}{x}>0.\)
L Неправильное решение.
\(\begin{cases} x+6>0,\\ x>0; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} x>-6,\\ x>0; \end{cases}\;\;\; x>0.\)
Ответ: (0; +∞).
Комментарий. Дробь может быть положительной в двух случаях: когда числитель и знаменатель одновременно положительны, и когда числитель и знаменатель отрицательны.
J Правильное решение.
\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} x + 6 > 0, \\ x > 0, \end{cases}\\ \begin{cases} x + 6 < 0,\\ x < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} \begin{cases} x > - 6,\\ x > 0, \end{cases}\\ \begin{cases} x < - 6,\\ x < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} x > 0,\;\;\\ x < -6.\end{matrix} \right.\)
Ответ: (–∞; –6)∪(0; +∞).
Часто учащиеся допускают ошибки при умножении неравенства на знаменатель, который не имеет определенного знака при любых значениях переменной.
K Упражнение 1. Решить неравенство \(\large \frac{2x+3}{x-1}>1.\)
L Неправильное решение.
2x + 3 > x – 1;
x > – 4.
Ответ: (–4; +∞).
Комментарий. Нельзя умножать обе части неравенства на знаменатель, который содержит неизвестное, если заранее не известен его знак. Если же вы все-таки не можете обойтись без умножения, то нужно рассматривать два варианта:
х –1 > 0 или х – 1 < 0.
J Правильное решение.
Рассмотрим один из возможных способов решения данного неравенства:
\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 2 x + 3 > x - 1, \\ x - 1 > 0, \end{cases}\\ \begin{cases} 2 x + 3 < x - 1, \\ x - 1 < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} \begin{cases} x > - 4,\\ x > 1, \end{cases}\\ \begin{cases} x < -4, \\ x < 1; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} x > 1,\;\;\\ x < -4.\end{matrix} \right.\)
Ответ: (–∞; –4)∪(1; +∞).
K Упражнение 2. Решить неравенство \(\large \frac{x^2+81}{4-x^2}>0.\)
L Неправильное решение.
х2 + 81 > 0 при х ≠ ±2.
Ответ: (–∞; –2)∪(–2; 2)∪(2; +∞).
J Правильное решение.
Так как дробь больше нуля, и числитель принимает положительные значения для любого допустимого значения х, то
4 –х2 > 0,
х2 < 4,
–2 < x < 2.
Ответ: (–2; 2).
K Упражнение 3. Решить неравенство 1/x ≥ 2.
L Неправильное решение.
2x ≤ 1;
x ≤ 1/2.
Ответ: (–∞; 1/2].
J Правильное решение.
Так как обе части неравенства представлены стандартными функциями, то легко использовать графические метод решения неравенства:
Очевидно, что значения функции у = 1/x достигают 2 и более при х ∈ (0; 1/2].
Ответ: (0; 1/2].
Отметим, что в неравенствах, содержащих переменную в знаменателе, нельзя избавляться от знаменателя даже в том случае, если выписана область допустимых значений. Исключение могут составлять только особые виды неравенств, в которых знаменатель положителен для любых значений переменной. Как, например, \(\large \frac{x^2-81}{4+x^2}>0\), которое, очевидно, равносильно неравенству х2 – 81 > 0, полученному из первого умножением на положительное число 4 + х2.
Ошибки при использовании метода интервалов
Рассмотрим типичные ошибки, возникающие при решении неравенств с применением метода интервалов.
K Упражнение 1. Решить неравенство х (х – 6) (х + 1) ≥ 0.
L Неправильное решение.
Ответ: х ∈ (–∞; –1]∪[6; +∞).
Комментарий. В данном решении не учтено, что сравнивается с нулем произведение трех множителей, а не двух. Таким образом, получаются не три интервала, а четыре.
J Правильное решение.
Ответ: х ∈ [–1; 0]∪[6; +∞).
K Упражнение 2. Решить неравенство (х– 5) (х + 3) (2 – х) ≥ 0.
L Неправильное решение.
Ответ: х ∈ [–3; 2]∪[5; +∞).
Комментарий. В данном примере знаки в интервалах проставлены неверно. Часто учащиеся не задумываясь проставляют знаки, чередуя их справа налево, начиная со знака +.
J Правильное решение.
Числовая ось с проставленными знаками на промежутках должна выглядеть в данном случае следующим образом:
Ответ: х ∈ (–∞; –3]∪[2; 5].
K Упражнение 3. Решить неравенство
| (х – 8) (х + 7) | ≥ 0. |
| х + 2 |
L Неправильное решение.
Ответ: х ∈ [–7; –2]∪[8; +∞).
Комментарий. В дробно-рациональных неравенствах нули знаменателя на числовую ось наносятся пустыми(выколотыми)точками, и это не зависит от строгости неравенства.
J Правильное решение.
Ответ: х ∈ [–7; –2)∪[8; +∞).
K Упражнение 4. Решить неравенство (х – 5) (х + 3)2 ≤ 0.
L Неправильное решение.
Ответ: х ∈ [–3; 5].
Комментарий. В данном упражнении знаки на интервалах проставлены неверно, так как при переходе через корень четной кратности знак не меняется.
J Правильное решение.
Ответ: х ∈ (–∞; 5].
K Упражнение 5. Решить неравенство (х – 1) (х – 10)2 > 0.
L Неправильное решение.
Ответ: х ∈ (1; +∞).
Комментарий. При записи ответа к данному неравенству не учтено то, что в точке х = 10 левая часть неравенства обращается в ноль, что не соответствует знаку данного неравенства.
J Правильный ответ: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞).
K Упражнение 6. Решить неравенство (х – 5)2 (х + 3) ≤ 0.
L Неправильное решение.
Ответ: х ∈ (–∞; –3].
Комментарий. При решении данного неравенства потеряно одно решение. При х = 5 левая часть неравенства обращается в ноль, что тоже удовлетворяет данному неравенству.
J Правильный ответ: х ∈ (–∞; –3]∪{5}.
Ошибки в иррациональных неравенствах
Самый распространенный вид ошибок при решении иррациональных неравенств связан с тем, что учащимися не учитывается область допустимых значений неизвестного для корня четной степени.
K Упражнение. Решить неравенство √x – 5 < 2.
L Неправильное решение.
x – 5 < 4;
x < 9.
Ответ: х ∈ (–∞; 9).
Комментарий. Неравенство имеет смысл лишь при x – 5 ≥ 0.
J Правильное решение.
\(\begin{cases} x - 5 < 4,\\ x - 5 \geq 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x < 9,\\ x \geq 5; \end{cases}\;\;\;\; 5 \leq x < 9.\)
Ответ: х ∈ [5; 9).
Нередко учащиеся не учитывают ограничения, которые накладываются на выражения, стоящие вне знака корня четной степени и содержащие неизвестную величину.
K Упражнение 1. Решить неравенство √4x + 21 ≤ x + 4.
L Неправильное решение.
\(\begin{cases} 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0; \end{cases}\;\; \begin{cases} 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21; \end{cases}\;\; \begin{cases} x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25; \end{cases}\;\; \begin{cases} (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25. \end{cases}\)
Ответ: х ∈ [–5,25; –5]∪[1; +∞).
Комментарий. Легко убедиться, что значения х ∈ (–∞; –4) не удовлетворяют данному неравенству.
J Правильное решение.
\(\begin{cases} 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0,\\ x+4\geq 0; \end{cases}\;\; \begin{cases} 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21,\\ x\geq -4; \end{cases}\;\; \begin{cases} x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4; \end{cases}\;\; \begin{cases} (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4. \end{cases}\)
Ответ: х ∈ [1; +∞).
K Упражнение 2. Решить неравенство √x + 26 ≥ x – 4.
L Неправильное решение.
\(\begin{cases} x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4. \end{cases}\)
Ответ: х ∈ [4; 10].
Комментарий. Не рассмотрен случай, когда x – 4 < 0.
J Правильное решение.
\(\left[\begin{matrix}\begin{cases} x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x+26\geq 0,\\ x-4 < 0;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix}\begin{cases} x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq -26,\\ x < 4;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\; \left[\begin{matrix}\begin{cases} (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq -26,\\ x < 4.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\;\)
Решением первой системы является промежуток [4; 10], решением второй – промежуток [–26; 4). Таким образом, решением совокупности систем является объединение этих промежутков.
Ответ: х ∈ [–26; 10].
Ошибки в показательных и логарифмических неравенствах
При решении показательных и логарифмических неравенств возникновение ошибок, как правило, вызвано тем, что учащиеся неверно применяют свойства показательной и логарифмической функции.
Например, не учитывают, что при положительном, меньшем единицы основании, и показательная, и логарифмическая функции являются убывающими.
K Упражнение. Решить неравенство 0,8 х ≥ 0,8 – 1/3.
L Неправильный ответ: х ≥ – 1/3.
Комментарий. Так как 0 < 0,8 < 1, то при переходе от неравенства степеней с одинаковыми основаниями к неравенству показателей необходимо было поменять знак основания.
J Правильный ответ: х ≤ – 1/3.
Пренебрежение областью допустимых значений неизвестного – еще одна распространенная причина ошибок при решении показательных и, особенно, логарифмических неравенств.
K Упражнение. Решить неравенство log4 (x2 + 3x) ≤ 1.
L Неправильное решение.
x2 + 3x ≤ 4;
x2 + 3x – 4 ≤ 0;
(x – 1) (x + 4) ≤ 0;
х ∈ [–4; 1].
Ответ: [–4; 1].
J Правильное решение.
\(\begin{cases} x^2+3x\leq 4, \\ x^2+3x > 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} (x-1)(x+4)\leq 0, \\ x(x+3) > 0. \end{cases}\)
Ответ: х ∈ [–4; –3)∪(0; 1].
Особые затруднения у учащихся вызывают неравенства в которых в основании показательной или логарифмической функции находится переменная. Следует помнить, что при решении таких неравенств нужно рассматривать несколько случаев.
K Упражнение 1. Решить неравенство log2х (x2 – 5x + 6) ≤ 1.
L Неправильное решение.
\(\begin{cases} x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-7x+6 \leq 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ (x-2)(x-3) > 0, \\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end{cases}\;\;\;\;\)
Ответ: х ∈ [1; 2)∪(3; 6].
Комментарий. Ошибка первая: учтены не все ограничения для значений переменной х, содержащейся в основании логарифма. Не только х> 0, но и х ≠ 0,5.
Ошибка вторая: так как основание логарифма содержит неизвестный х, необходимо отдельно рассматривать два случая: 0 < 2х < 1 и 2x > 1.
J Правильное решение.
\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < 2x < 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \geq 2x; \end{cases}\\ \begin{cases} 2x > 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \geq 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \leq 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \geq 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\)
В первом случае решением системы является промежуток (0; 0,5), а во втором – объединение промежутков [1; 2)∪(3; 6].
Таким образом, после объединения ответов получим (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6].
Ответ: х ∈ (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6].
K Упражнение 2. Решить неравенство х 3х + 1 > х 4.
L Неправильное решение.
\(\begin{cases} x > 0, \\ 3x+1 > 4; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ x > 1; \end{cases}\;\;\;\; x > 1.\)
Ответ: х ∈ (1; +∞).
J Правильное решение.
\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 1, \\ 3x+1 < 4; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 1, \\ 3x+1 > 4; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 1, \\ x < 1; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 1, \\ x > 1; \;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} 0 < x < 1,\\ x > 1.\;\;\;\;\;\; \end{matrix} \right.\)
Ответ: х ∈ (0; 1)∪(1; +∞).
При решении неравенств методом замены переменной учащиеся достаточно часто путают, знак совокупности и знак системы, то есть не понимают, что в первом случае решением неравенства является объединение нескольких множеств, а во втором случае – их пересечение.
K Упражнение 1. Решить неравенство lg2 x + lg x – 2 ≥ 0.
L Неправильное решение.
Пусть lg x = t, тогда
t 2 + t – 2 ≥ 0;
(t – 1) (t + 2) ≥ 0;
\(\begin{cases} t \geq 1, \\ t \leq -2; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} \lg x \geq 1, \\ \lg x \leq -2; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x \geq 10, \\ x \leq 0,01. \end{cases}\;\;\;\;\)
Ответ: Ø.
Комментарий. Решение должно сводиться к объединению, а не к пересечению двух промежутков, то есть к решению совокупности неравенств.
J Правильное решение.
\(\left[\begin{matrix} t \geq 1,\;\;\;\\ t \leq -2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \lg x \geq 1,\;\;\;\\ \lg x \leq -2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \begin{cases} \left[\begin{matrix} x \geq 10,\;\;\;\\ x \leq 0,01; \end{matrix} \right. \\ \; x > 0. \end{cases}\)
Ответ: х ∈ (0; 0,01]∪[10; +∞).
K Упражнение 2. Решить неравенство x – 3√x + 2 ≤ 0.
L Неправильное решение.
Пусть √x =t; тогда
t 2 – 3t + 2 ≤ 0;
(t – 1) (t – 2) ≤ 0;
\(\left[\begin{matrix} t \geq 1,\\ t \leq 2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \sqrt{x} \geq 1,\\ \sqrt{x} \leq 2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} x \geq 1,\\ x \leq 4; \end{matrix} \right.\;\;\;\; x\in (-\infty;\; +\infty).\)
Ответ: все числа.
Комментарий. Во-первых, в представленном решении не учтена область допустимых значений переменной, а во-вторых, решение должно сводиться к пересечению двух промежутков, а не к их объединению, то есть к решению системы неравенств или двойного неравенства.
J Правильное решение.
1 ≤ t ≤ 2;
1 ≤ √x ≤ 2;
1 ≤ x ≤ 4.
Ответ: [1; 4].
Смотрите так же:
Ошибки в тождественных преобразованиях
Ошибки в упражнениях с параметрами
Ошибки в упражнениях о функциях