Цифры и десятичная система счисления

В задачах, где речь идет о цифрах в десятичной записи натурального числа

A = a_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + . . . + a₁10 + a₀

(эта запись иногда обозначается через ) используются разнообразные соображения: делимость целых чисел, алгебраические преобразования, оценки. В частности, полезен признак делимости на 3 и на 9, а также следующее его уточнение: число А дает при делении на 9 (и на 3) тот же остаток, что и сумма его цифр. Разность

А – (a_n + a_n–1 + . . . + a₁ + a₀) = a_n(10ⁿ –1) + a_n–1(10^n–1 –1) + . . . + a₁(10 –1)

очевидно, делится на 9 (и на 3).

Иногда оказывается полезной запись натурального числа А в системе счисления с основанием q:

A = a_nqⁿ + a_n–1q^n–1 + . . . + a₁q + a₀,

где целые положительные a_i < q – «цифры» этой системы счисления.

1. Сколько существует целых положительных:

    а) двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;

    б) двузначных чисел, цифры которых расположены в невозрастающем порядке;

    в) восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;

    г) чисел, меньших 1000, которые записываются различными цифрами;

    д) трёхзначных чисел, цифры которых расположены в возрастающем порядке?

а) Двузначных чисел 90. Числа 11, 22, … , 99 отбрасываем. Среди оставшихся 81 чисел присутствуют такие 9 чисел, это 10, 20, … , 90, которые нам подходят, но которые при перестановке местами цифр перестают быть двузначными. Запомним эти 9 чисел и вычтем из 81. Оставшиеся 72 числа записываются различными, отличными от 0 цифрами, и половина из них имеет цифры, расположенные в убывающем порядке. Количество искомых чисел: 36+9=45.

Ответ: 45.

б) К таким числам относятся числа, цифры которых записаны в убывающем порядке, и числа, обе цифры которых одинаковые. Первых, как мы установили выше, 45, вторых – 9. Количество искомых чисел: 45+9=54.

Ответ: 54.

в) Выпишем в ряд все 10 цифр в убывающем порядке. Если в этом ряде вычеркнуть какие-либо две цифры, то получим восьмизначное число, цифры которого идут в убывающем порядке. Этому числу соответствует двузначное число, образованное вычеркнутыми цифрами. Таким образом, между элементами множества двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, и элементами множества восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому и тех и других равное количество, по 45.

Ответ: 45.

г) I способ. Положительных целых однозначных чисел 9, двузначных, записанных разными цифрами, как установлено ранее, – 81. Определим количество трёхзначных положительных целых чисел записанных различными цифрами. Если к двузначному числу приписать в конце цифру, ранее не использованную в его записи, то получим трёхзначное число с разными цифрами. Одно двузначное может дать, таким образом, восемь трёхзначных. Всего же таких двузначных чисел – 81. Значит, искомое количество трёхзначных чисел, записанных разными цифрами, равно 81·8=648. Количество искомых чисел: 9+81+648=738.

II способ. Подсчитаем количество чисел, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется, и вычтем его из 999. Среди однозначных чисел таких нет, среди двузначных их 9 – 11, 22, … , 99. Чисел с тремя одинаковыми цифрами тоже 9 – 111, 222, … , 999. Учтём сразу ещё 9 чисел – 100, 200, ... , 900. Найдём количество трёхзначных чисел с двумя повторяющимися ненулевыми цифрами, для чего попробуем их построить. Из числа вида kk можно получить нужное нам трёхзначное, если:

    приписать перед kk любую цифру, кроме 0 и k – 8 способов;

    приписать между k и k любую цифру, кроме k – 9 способов;

    приписать после kk любую цифру, кроме k – 9 способов.

Так как k принимает девять значений, то из kk получим 9·(8+9+9)=234 чисел. Таким образом, чисел меньших 1000, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется: 9+9+9+234=261. Количество искомых чисел: 999–261=738.

Ответ: 738.

д) Отметим сразу очевидное, в таких числах отсутствует цифра 0. Вычтем из 648 трёхзначных чисел, которые записываются различными цифрами те, которые имеют 0. Выше отмечалось, что существует 72 числа, которые записываются различными, отличными от 0 цифрами. Каждое из этих чисел даст трёхзначное число с цифрой 0 после записи 0 между его цифрами или в конце числа. Таким образом, существует 648–72·2=504 трёхзначных числа, в записи каждого из которых используются три различных числа, отличных от 0.

Так как из трёх различных, не равных 0 цифр можно записать шесть различных трёхзначных чисел, только в одном из которых цифры расположены по возрастанию, то количество искомых чисел равно шестой части от 504, а именно: 84

Ответ: 84.

2. Какова сумма всех цифр, используемых при записи всех чисел, первое из которых единица, а последнее миллиард?

Добавляя ноль, мы можем образовать полмиллиарда пар чисел:

(0; 999999999), (1; 999999998), (2; 999999997), . . . , (499999998; 500000001), (499999999; 500000000).

Сумма цифр в каждой паре равна 9 · 9 = 81. Если добавить 1 в сумму цифр для неучтённого при этом числа 1 000 000 000, то мы получаем сумму совсем просто:

500 000 000 · 81 + 1 = 40 500 000 001.

Ответ: 40 500 000 001.

3. Докажите, что число 11…1, записанное 2013 единицами, делится на 37 .

Число, состоящее из 2013 единиц, можно записать следующим образом:

111·10²⁰¹⁰ + 111·10²⁰⁰⁷ + . . . +111·10³ + 111 = 111·(10²⁰¹⁰ + 10²⁰⁰⁷ + . . . + 10³ + 1).

Так как 111 кратно 37, то и всё число кратно 37.

4. Докажите, что

Верны следующие два равенства:

Поэтому

Следовательно,

5. Докажите, что:

а) число 11...1211...1, состоящее из 100 единиц слева и 100 единиц справа от единственной двойки, является составным;

б) число 11...1122…22, состоящее из 100 единиц и 100 двоек есть произведение двух последовательных целых чисел.

а) Действительно,

Откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

б) Действительно,

что и требовалось доказать.

6. Можно ли все десятизначные числа, записываемые при помощи 1 и 2, разбить на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел из одной группы содержала в своей десятичной записи не менее двух троек?

Поместим в одну группу числа, в записи которых чётное число единиц, в другую – числа с нечётным числом единиц. Если А и В – два числа из одной группы, то, поскольку это разные числа, в некотором разряде у них стоят разные цифры – 1 и 2, сумма которых даёт одну тройку. Но количество единиц в обоих числах имеет одинаковую чётность, поэтому не могут совпадать цифры в остальных, то есть найдется еще разряд с разными цифрами, сумма которых даст вторую тройку.

Ответ: Можно.

7. В некотором натуральном числе произвольно переставлены цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не равна 99…9 (число содержит 2013 девяток).

Очевидно, что исходное число имеет 2013 цифр. Пусть а₁, а₂, . . . , а₂₀₁₃ – цифры исходного числа, b₁, b₂, . . . , b₂₀₁₃ – цифры изменённого числа. Предположим, что

а₁ + b₁ = 9,

а₂ + b₂ = 9,

 . . .

а₂₀₁₃ + b₂₀₁₃ = 9.

Так как сумма цифр исходного и изменённого числа одна и та же, то

2 · (а₁ + а₂ + . . . + а₂₀₁₃) = 9 · 2013,

чего не может быть, так как в правой и левой частях равенства стоят числа разной четности.

8. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанные в произвольном порядке. Доказать, что ни одно из этих чисел не делится ни на какое другое.

Пусть число m₁, составленное из данных чисел, делится на число m₂ (m₁ > m₂). Тогда и m₁ – m₂ делится на m₂. Так как разность двух чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9, числа 9 и m₂ взаимно просты, то m₁ – m₂ делится на 9m₂. Но 9m₂ – число восьмизначное. Полученное противоречие, опровергает сделанное предположение о том, что m₁ делится на m₂. Доказательство окончено.

9. Каковы три последние цифры числа 7⁹⁹⁹⁹?

Заметим, что 7⁴ = 2401. Поэтому

7⁴ⁿ = 2401ⁿ = (1 + 2400)ⁿ = 1 + n·2400 + А,

где все члены этого биномиального разложения после второго, объединённые нами в одном слагаемом А, оканчиваются по крайней мере на четыре нуля и не влияют на последние три цифры результата. Эти последние определяются из равенства

1 + n·2400 = 24n·100 + 1.

Если m – последняя цифра числа 24n, то имеем

24n·100 + 1 = ...m·100 + 1 = ...m01,

то есть 7⁴ⁿ оканчивается на m01.

При n = 2499 число 24n оканчивается на 6 и мы видим, что 7⁴ⁿ = 7⁹⁹⁹⁶ оканчивается на 601. Так как 7³ = 343, то мы получаем

7⁹⁹⁹⁹ = 7⁹⁹⁹⁶ · 7³ = ...601·343 = ...143.

143 и есть искомые последние три цифры, которые мы получаем непосредственным умножением.

Ответ: 7⁹⁹⁹⁹ = ...143.

10. Докажите, что существует число, делящееся на 5¹⁰⁰⁰ и не содержащее в своей записи ни одного нуля.

Число 5¹⁰⁰⁰ оканчивается на 5. Пусть в десятичной записи этого числа на k-м месте, считая от конца, стоит 0, а все следующие цифры отличны от 0. Прибавим к этому числу 5¹⁰⁰⁰·10^k–1. В результате получится число, делящееся на 5¹⁰⁰⁰, у которого отличны от нуля последние k цифр. Продолжая эту процедуру, можно получить число, у которого последние 1000 цифр отличны от нуля. Теперь отбросим все цифры, кроме 1000 последних. Полученное число, очевидно, тоже делится на 5¹⁰⁰⁰.

1. Сколько существует целых положительных:

    а) трёхзначных чисел, первая цифра которых больше двух остальных, а вторая – меньше третьей;

    б) четырёхзначных чисел, которые делятся на 4, и в записи которых нет цифр 3, 0, 8?

2. В десятизначном числе N первая цифра совпадает с количеством единиц в записи числа N, вторая – с количеством двоек, третья – троек, ... , десятая – с количеством нулей. Найдите число N. 

3. Найдите все значения n при которых (n+1)-значное число 144...4 является квадратом натурального числа. 

4. У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитывается сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитывается сумма цифр и так далее до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел получится больше: 1 или 2?. 

5. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444445-значное число не может быть степенью двойки.